从一道经典的二次函数压轴题说起
王 桥
昨天，二轮备考群里有个网友问了一道二次函数压轴综合题，虽然这道题目不算很难，但是却很有一定的代表性。刚好昨天那会有点空，就做了下简单解析。
这是原题：
本题的第（1）问比较简单，可设出二次函数的顶点式，把点C（0,4）代入，可求得二次函数的解析式为y=-x2+3x+4，并可求得A（4,0），B（-1,0），直线AC的解析式为y=-x+4；
本题的第（2）问比较经典，可根据“斜化正”的策略，把斜线段PM化为铅垂线段。
如图：作PD ⊥x轴于点D，交AC于点Q，∵PM⊥AC，则易证△PMQ∽△ADQ∽△AOC，则PM=PQcos45°=√2/2PQ。设P（m,-m2+3m+4）,则PQ=yP-yQ=-m2+4m，∴PM=√2/2（-m2+4m），其中-1。显然，当m=2时，点P的坐标为（2,6），此时PM的最大值为3√2；
题目的第（3）问略有点难。
首先是对含参数的一次函数y=kx-k+3(k≠0，k≠-1)的理解。
∵y=kx-k+3=k(x-1)+3，当x=1时，y=3二次函数顶点式，此时解析式与k无关，则直线y=kx-k+3(k≠0，k≠-1)过定点（1，3）。而点（1,3）又符合y=-x+4，则定点（1,3）在直线AC上，则E（1,3）。
易求PE：y=3x，OE：y=3x，即O、E、P共线。
设点G（n，-n2+3n+4）,过点G作GH⊥OP于H，GK⊥AC于K，GR⊥x轴，交AC于点R，则GR=-n2+4n，GK=√2/2GR=√2/2(-n2+4n)二次函数顶点式，作GT⊥y轴交OP于点T，交y轴于点C’，易证△GHT∽△OC’T，则GH=3√10/10GT.∵yG=yT=-n2+3n+4，令y=-n2+3n+4，代入y=3x中，则x=1/3（-n2+3n+4）,则GT=n-1/3（-n2+3n+4）=1/3n2-4/3，GH=3√10/10GT=.3√10/10(1/3n2-4/3).∵GH:GK=√5:3，即√5GR=3GH，即√5（-n2+4n）=3×3√10/10(1/3n2-4/3)，整理得2n2-5n-3=0，解得n=-1/2或n=3，则G（-1/2，9/4）或G（3,4）
其实，这道题目带给我们的思考有很多：
1、“斜化正”策略的灵活运用——第（2）问的把PM化为PQ，第（3）问的把GK化为GR，把GH化为GT，都是“斜化正”策略；
2、含参数一次函数过定点问题——对含参数的一次函数y=kx-k+3(k≠0，k≠-1)，经过变形为y=kx-k+3=k(x-1)+3，当x=1时，y=3，此时解析式与参数k无关，则直线y=kx-k+3(k≠0，k≠-1)过定点（1，3）。这一点很重要，需要认真领会！而此点恰在直线AC：y=-x+4上，则直线y=kx-k+3和直线y=-x+4的交点必为E（1,3）。
当然，也可联立直线y=kx-k+3和直线y=-x+4，解得E（1,3）。
3、构造函数——第（2）问中，求线段PM的最大值，建立了PM的值与点P的横坐标m和二次函数：PM=√2/2（-m2+4m）=-√2/2m2+2√2m（-1），下来就是求二次函数的最值问题；第（3）问中，把GK和GH的长用点G的横坐标N来表示，其实质都是构造函数。构造函数是求变量引起的最值问题的最基本的策略；
4、构造方程——第（1）问用“待定系数法”求函数解析式就是构造方程；第（3）问求两条直线的交点也是构造方程；最精彩的则是最后根据GH:GK=√5:3，进而得到√5（-n2+4n）=3×3√10/10(1/3n2-4/3)，即建立起了关于n的方程。根据动点略点的特殊位置或动点引起的特殊图形的存在性所满足的等量关系构造方程是解决这类问题的最基本方法。
其实，解决这道二次函数压轴题，还用到了“数形结合思想”、“转化思想”、“分类讨论”等基本数学思想和“逆向思维”“综合思维”等基本数学思维策略。把图形中的“线”用“解析式”——方程来表示，根据图形特点建立函数或方程，根据点的数据特征判断点在图像中的位置等等，这些都是数形结合思想的重要体现；把斜线段转化为铅垂线段或水平线段，把最值问题转化为函数问题，把特殊位置问题转化为方程问题都是转化思想；而根据落点的特殊位置所满足的等量关系构造方程则是执果索因的逆向思维……
由于二次函数本身的知识点就比较多，并且能够和二次函数的相关内容嫁接的数学知识非常多，所以二次函数的综合题常常作为压轴题的形式出现。二次函数的综合题还可以考察下面的内容：线段问题、面积问题、角度问题、特殊三角形的存在性问题、特殊四边形的存在性问题、相似问题、平移折叠旋转问题等。而“斜化正”“构造函数”“构造方程”“数形结合”“转化”等数学思想方法，都是解决这类问题的有力武器，需要认真领会，灵活掌握。
关于“构造”“转化”“数形结合”等策略，咱们在《冲刺十招》的第2招、第6招和第7招都进行过分别讲述，相信对大家都有帮助。当然，也欢迎大家对在今年中考备考复习过程中对《十招》使用的意见和建议反馈给我，以期明年修订时得以改进。
另：1、尚有少量《冲刺十招》和《春季攻势》，欢迎咨询；
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